Determine os limites:
\lim _{t \rightarrow 0^{+}}\left(t^{\sqrt{t}}, \frac{\sin 4 t}{t}, 5\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{t\to0^+}\bigl(t^{\sqrt t},\,\frac{\sin4t}{t},\,5\bigr).
Vamos usar propriedades de limites de funções compostas, o limite trigonométrico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
e o fato de que constantes passam pelo limite.

Passo 2

Calculamos a primeira componente
\lim_{t\to0^+}t^{\sqrt{t}}.
Escrevemos
t^{\sqrt{t}} = \exp\bigl(\sqrt{t}\ln t\bigr)
e analisamos o expoente
\lim_{t\to0^+}\sqrt{t}\ln t = \lim_{t\to0^+}\frac{\ln t}{1/\sqrt{t}}.
Aplicando a regra de L\’Hôpital a
\frac{\ln t}{t^{-1/2}}, derivamos numerador e denominador:
\lim_{t\to0^+}\frac{\tfrac{1}{t}}{-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}} = \lim_{t\to0^+}(-2\,t^{1/2}) = 0.
Logo
\lim_{t\to0^+}t^{\sqrt{t}} = \exp(0) = 1.

Passo 3

Para a segunda componente usamos o limite padrão:
\lim_{t\to0^+}\frac{\sin4t}{t} = \lim_{t\to0^+}4\;\frac{\sin4t}{4t} = 4\cdot1 = 4.

Passo 4

A terceira componente é a constante 5, então
\lim_{t\to0^+}5 = 5.

Resposta

(1,4,5)

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