Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t, z=1,0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
\;x = a\cos^3 t,\;y = a\sin^3 t,\;z = 1,
para 0 \le t \le \tfrac{\pi}{2}, e pede o comprimento de arco.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de uma curva no espaço:
s = \int_{t_0}^{t_1} \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \,dt,
onde \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)).

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes:
\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t\,\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t\,\cos t, \qquad \frac{dz}{dt} = 0.

Passo 3

A norma do vetor velocidade é
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert = \sqrt{\bigl(-3a\cos^2 t\,\sin t\bigr)^2 + \bigl(3a\sin^2 t\,\cos t\bigr)^2} = 3a\,\sin t\,\cos t,
pois em 0\le t\le\tfrac{\pi}{2} temos \sin t,\cos t\ge0.

Passo 4

Substituindo na integral do comprimento de arco:
s = \int_{0}^{\pi/2} 3a\,\sin t\,\cos t \,dt = 3a \int_{0}^{\pi/2} \sin t\,\cos t \,dt = 3a \Bigl[\tfrac12\sin^2 t\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{3a}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3a}{2}

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