Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
f) gamma(t)=(log t, 2 t, t^2), 1 <= t <= e.

Passo 1

Aqui a ideia é usar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica. A curva é gamma(t) = (log t,,2t,,t^2) no intervalo 1 <= t <= e. Vamos precisar da fórmula
L = integrala^b lVertgamma'(t)rVert,dt
para calcular o comprimento.

Passo 2

Primeiro, derivamos cada componente de gamma(t):
gamma'(t) = l(tfracddt(log t),,tfracddt(2t),,tfracddt(t^2)r) = l(tfrac1t,,2,,2tr)
Em seguida, calculamos a norma:
lVertgamma'(t)rVert = raizl(tfrac1tr)^2 + 2^2 + (2t)^2 = raiztfrac1t^2 + 4 + 4t^2 = 2t^2 + 1t
para t>0.

Passo 3

Agora montamos a integral do comprimento:
L = integral1^e lVertgamma'(t)rVert,dt = integral1^e l(2t + tfrac1tr),dt
A antiderivada de 2t + tfrac1t é t^2 + ln t. Avaliando de 1 até e:
L = l[t^2 + ln tr]1^e = l(e^2 + 1r) - l(1 + 0r) = e^2

Resposta

O comprimento do arco é e^2.

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