Considere a função f(x)=la x^3, se x<2, x^2+b x >= 2
(a) [1 pt]Determine as constantes a e b para que f(x) seja diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para achar as constantes que tornam a função
f(x)=a x^3, & x<2, x^2+b, & x>=2
diferenciável em x=2. Isso significa que ela precisa ser contínua e ter derivadas laterais iguais em x=2.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=2, igualamos os limites à esquerda e à direita:
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)
Substituindo, temos:
$$
a\cdot2{3}=2{2}+b acdot2^3=2^2+b
8a=4+b
8a=4+b í
b=8a-4.
$$

Passo 3

Para garantir diferenciabilidade, igualamos as derivadas laterais em x=2:
$$
f’-(2)=f’+(2).$$
A derivada para f'-(2)=f'+(2) é x<2, logo em f'(x)=3a x^2 vale x=2. A derivada para 3acdot2^2=12a é x>=2, logo em f'(x)=2x vale x=2.

Passo 4

Igualando as duas:
12a=4
de onde
a=412=13

Passo 5

Substituindo a=tfrac13 na expressão de b:
b=8cdot13-4=83-4=8-123=-43

Resposta

a=tfrac13,;b=-tfrac43

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