Considere a função
(a) [1 pt]Determine as constantes
e
para que
seja diferenciável.
(a) [1 pt]Determine as constantes
Passo 1
O enunciado pede para achar as constantes que tornam a função
diferenciável em
. Isso significa que ela precisa ser contínua e ter derivadas laterais iguais em
.
Passo 2
Para garantir continuidade em
, igualamos os limites à esquerda e à direita:
Substituindo, temos:
$$
a\cdot2{3}=2{2}+b
8a=4+b
b=8a-4.
$$
Passo 3
Para garantir diferenciabilidade, igualamos as derivadas laterais em
:
$$
f’-(2)=f’+(2).$$
A derivada para é
, logo em
vale
. A derivada para
é
, logo em
vale
.
A derivada para
Passo 4
Igualando as duas:
de onde
Passo 5
Substituindo
na expressão de
: