Considere as funções
f(x, y)=x^3-3 x^2 y+27 y
(1) A função f possui dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2}y + 27y $ e quer saber se ela tem dois pontos de sela e um ponto de mínimo local. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente encontrar os pontos críticos da função e analisar a natureza deles usando as derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
x
y

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
3x^2 - 6xy = 0 (1)
-3x^2 + 27 = 0 (2)
Resolvendo a equação (2):
-3x^2 + 27 = 0 Rightarrow 3x^2 = 27 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = 3 ou x = -3

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de $ x $ encontrados na equação (1) para encontrar os valores de $ y $:
Para $ x = 3 $:
x
Para $ x = -3 $:
y
Então, os pontos críticos são $ (3, \frac{3}{2}) $ e $ (-3, -\frac{3}{2}) $.

Passo 5

Para determinar a natureza desses pontos críticos (sela, mínimo ou máximo), vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x - 6y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -6x
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 6

Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
Para $ (3, \frac{3}{2}) $:
D
(3, 32)
fxx = 6(3) - 6(32) = 18 - 9 = 9
fyy = 0
Como $ D < 0 $, o ponto $ (3, \frac{3}{2}) $ é um ponto de sela.
Para $ (-3, -\frac{3}{2}) $:
fxy = -6(3) = -18
D = (9)(0) - (-18)^2 = 0 - 324 = -324
D < 0
(3, 32)
Novamente, $ D < 0 $, então o ponto $ (-3, -\frac{3}{2}) $ também é um ponto de sela.

Passo 7

Além desses dois pontos críticos, para verificar se há um ponto de mínimo local, vamos analisar o comportamento da função. Como encontramos apenas dois pontos críticos e ambos são pontos de sela, não há ponto de mínimo local para essa função.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2}y + 27y $ possui dois pontos de sela e não possui ponto de mínimo local.

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