Considere as funções
(1) A função
possui dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2}y + 27y $ e quer saber se ela tem dois pontos de sela e um ponto de mínimo local. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente encontrar os pontos críticos da função e analisar a natureza deles usando as derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação (2):
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de $ x $ encontrados na equação (1) para encontrar os valores de $ y $:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -3 $:
Então, os pontos críticos são $ (3, \frac{3}{2}) $ e $ (-3, -\frac{3}{2}) $.
Passo 5
Para determinar a natureza desses pontos críticos (sela, mínimo ou máximo), vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 6
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
Para $ (3, \frac{3}{2}) $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (3, \frac{3}{2}) $ é um ponto de sela.
Para $ (-3, -\frac{3}{2}) $:
Novamente, $ D < 0 $, então o ponto $ (-3, -\frac{3}{2}) $ também é um ponto de sela.
Passo 7
Além desses dois pontos críticos, para verificar se há um ponto de mínimo local, vamos analisar o comportamento da função. Como encontramos apenas dois pontos críticos e ambos são pontos de sela, não há ponto de mínimo local para essa função.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2}y + 27y $ possui dois pontos de sela e não possui ponto de mínimo local.