Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
gamma(t)=(sen 3 t, cos 3 t, 2 t^32), 0 <= t <= 1.

Passo 1

A questão pede o comprimento de arco da curva definida por gamma(t)=(sin 3t,cos 3t,2t^3/2) no intervalo 0<= t<=1. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar calcular gamma'(t), sua norma e depois integrar essa norma.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente de gamma(t). Para isso, lembramos que ddt(sin 3t)=3cos3t, ddt(cos3t)=-3sin3t e ddt(2t^3/2))=2cdot32t^1/2=3t^1/2. Assim, temos
gamma'(t)=(3cos3t,,-3sin3t,,3t^1/2)

Passo 3

Em seguida, calculamos a norma de gamma'(t). Usando cos^23t+sin^23t=1, obtemos
|gamma'(t)|=raiz(3cos3t)^2+(-3sin3t)^2+(3t^1/2)^2 =raiz9(cos^23t+sin^23t)+9t =3raiz1+t

Passo 4

Agora montamos a integral do comprimento de arco:
L=integral0^1|gamma'(t)|,dt=integral0^13raiz1+t,dt

Passo 5

Por fim, calculamos a integral. Sabemos que
integralraiz1+t,dt=integral(1+t)^1/2dt=23(1+t)^3/2+C
Logo,
L=3cdot23(1+t)^3/2|0^1=2l((1+1)^3/2-(1+0)^3/2r)=2(2^3/2-1)=4raiz2-2

Resposta

4\sqrt{2}-2

Exercícios relacionados