Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y=raizx, y=raiz3 x-18 e y=0. Se f é uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A em termos de integrais iteradas utilizando apenas: Teorema 2

Passo 1

Resumo do enunciado: a região D é limitada pelas curvas y=raizx, y=raiz3x-18 e y=0. O conteúdo aqui é reescrever a integral dupla integral duplaD f(x,y),dA em integrais iteradas usando o Teorema 2 (Fubini). Para isso precisamos descrever D em termos de inequações em x e y.

Passo 2

Determinando as interseções das fronteiras: com y=0 e y=raizx temos o ponto (0,0); com y=0 e y=raiz3x-18 obtemos (6,0); entre as duas parábolas resolvemos raizx=raiz3x-18, elevando ao quadrado x=3x-18 x=9 e y=3, ou seja, interseção em (9,3).

Passo 3

Descrito em função de y (região tipo I): y varia de 0 a 3 e, para cada y, x varia de x=y^2 (inversa de y=raizx) até x=(y^2+18)/3 (inversa de y=raiz3x-18). Assim temos
D=(x,y):0<= y<=3, y^2<= x<=tfracy^2+183

Passo 4

Aplicando o Teorema 2 (Fubini) fica
integral duplaD f(x,y),dA = integraly=0^3integralx=y^2^(y^2+18)/3 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral duplaD f(x,y),dA = integral0^3 integraly^2^y^2+183 f(x,y),dx,dy

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