Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=(x2-x)^3.

Passo 1

Temos a função f(x)=l(tfracx2-xr)^3. O conteúdo aqui é série de potências, usando a expansão binomial generalizada (Newton) para expoentes negativos. Para resolver, vamos precisar da fórmula de (1-u)^-3.

Passo 2

Começamos reescrevendo f(x) de forma que apareça um termo (1-u)^-3: primeiro note que
f(x)=x^3(2-x)^3
Em seguida, fatoramos (2-x)^3:
(2-x)^-3=2^-3l(1-x2r)^-3
Logo
f(x)=x^3cdot2^-3l(1-tfracx2r)^-3=x^38,l(1-tfracx2r)^-3

Passo 3

Agora usamos a expansão binomial generalizada para (1-u)^-3:
(1-u)^-3=sumn=0^inftybinomn+22,u^n,
válida para |u|<1. Aqui u=tfracx2.

Passo 4

Substituindo u=tfracx2 e multiplicando por x^3/8, obtemos
f(x)=x^38sumn=0^inftybinomn+22l(x2r)^n=sumn=0^inftybinomn+22x^n+38,2^n

Passo 5

Para escrever o coeficiente de forma mais clara, note que
binomn+22=(n+2)(n+1)2,
então
binomn+228,2^n=(n+2)(n+1)2cdot8,2^n=(n+2)(n+1)2^n+4
Logo outra forma é
f(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)2^n+4,x^n+3

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, usamos a condição |u|<1 que virou |x/2|<1. Logo
|x|<2

Passo 7

Resumindo, a série vale para |x|<2.

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)2^n+4,x^n+3,
com intervalo de convergência |x|<2.

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