Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é série de potências, usando a expansão binomial generalizada (Newton) para expoentes negativos. Para resolver, vamos precisar da fórmula de
.
Passo 2
Começamos reescrevendo
de forma que apareça um termo
: primeiro note que
Em seguida, fatoramos
:
Logo
Passo 3
Agora usamos a expansão binomial generalizada para
:
válida para
. Aqui
.
Passo 4
Substituindo
e multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Para escrever o coeficiente de forma mais clara, note que
então
Logo outra forma é
Passo 6
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos a condição
que virou
. Logo
Passo 7
Resumindo, a série vale para
.
Resposta
A série de potências é
com intervalo de convergência
.