Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
gamma(t)=(a cos ^3 t, a sen^3 t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva paramétrica
gamma(t) = l(acos^3 t,;asin^3 tr), com 0<= t<=2pi.
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
L = integralt0^t1 raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de x(t)=acos^3 t e y(t)=asin^3 t.
Usando a regra da cadeia:
x'(t) = acdot3cos^2 t cdot(-sin t) = -3acos^2 t,sin t,
y'(t) = acdot3sin^2 t cdotcos t = 3asin^2 t,cos t

Passo 3

Substituímos em
raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2 ;=;raizl(-3acos^2 t,sin tr)^2 + l(3asin^2 t,cos tr)^2
Isso dá
raiz9a^2cos^4 t,sin^2 t + 9a^2sin^4 t,cos^2 t =3a,raizcos^2 t,sin^2 t,l(cos^2 t+sin^2 tr)
Como cos^2 t+sin^2 t=1, ficamos com
3a,|sin t,cos t|

Passo 4

Usamos a identidade sin2t=2sin tcos t, logo
|sin tcos t| = tfrac12,|sin2t|
Assim o integrando fica
3a,|sin tcos t| = tfrac3a2,|sin2t|

Passo 5

O comprimento total é
L = integral0^2pi 3a,|sin tcos t|,dt = 3a2 integral0^2pi |sin2t|,dt
Como |sin2t| tem período pi e em cada período de comprimento pi a integral vale 2, temos
integral0^2pi |sin2t|,dt = 2cdot2 = 4
Portanto
L = 3a2cdot4 = 6a

Resposta

O comprimento do arco é 6a.

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