Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva paramétrica
, com
.
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
e
.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Substituímos em
Isso dá
Como
, ficamos com
Passo 4
Usamos a identidade
, logo
Assim o integrando fica
Passo 5
O comprimento total é
Como
tem período
e em cada período de comprimento
a integral vale
, temos
Portanto
Resposta
O comprimento do arco é
.