Use o Teorema Fundamental do Cálculo e o Teorema da Mudança de Variáveis para mostrar que, se
é uma função contínua num intervalo fechado e limitado
e
são funções de classe
em
, então
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para
contínua em
e
, vale
O que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (que garante a existência de uma primitiva
de
) e, em seguida, a regra da cadeia para derivar composições.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, existe uma função
tal que
para todo
. Então, para todo
,
Aqui usamos também, implicitamente, a mudança de variável em cada integral com limite variável para exprimir em termos de
.
Passo 3
Agora aplicamos a derivada em ambos os lados. Defina
Então
Passo 4
Usando a regra da cadeia em cada termo:
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