Use o Teorema Fundamental do Cálculo e o Teorema da Mudança de Variáveis para mostrar que, se é uma função contínua num intervalo fechado e limitado e são funções de classe em , então

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para f contínua em I e g,hinmathscrC^1(I), vale
dd xintegralh(x)^g(x)f(t),dt =fl(g(x)r),g'(x);-;fl(h(x)r),h'(x)
O que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (que garante a existência de uma primitiva F de f) e, em seguida, a regra da cadeia para derivar composições.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, existe uma função FinmathscrC^1(I) tal que F'(t)=f(t) para todo tin I. Então, para todo xin I,
integralh(x)^g(x)f(t),dt =;Fl(g(x)r);-;Fl(h(x)r)
Aqui usamos também, implicitamente, a mudança de variável em cada integral com limite variável para exprimir em termos de F.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em ambos os lados. Defina
H(x)=Fl(g(x)r)e K(x)=Fl(h(x)r)
Então
ddxintegralh(x)^g(x)f(t),dt =;H'(x);-;K'(x)

Passo 4

Usando a regra da cadeia em cada termo:
H'(x) =F'l(g(x)r),g'(x) =fl(g(x)r),g'(x), K'(x) =F'l(h(x)r),h'(x) =fl(h(x)r),h'(x)
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ddxintegralh(x)^g(x)f(t),dt =fl(g(x)r),g'(x)-fl(h(x)r),h'(x)

Resposta

dd xintegralh(x)^g(x)f(t),dt =f(g(x)),g'(x)-f(h(x)),h'(x)

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