Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integral0^x^4 raizt d t.

Passo 1

No enunciado temos
f(x) = integral0^x^4 raizt,dt
e queremos calcular f'(x). Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x) = integrala^u(x) g(t),dt
então
F'(x) = gl(u(x)r)cdot u'(x)
Aqui g(t)=raizt e u(x)=x^4. Logo, aplicando direto:
f'(x) = raizx^4;cdot;ddxl(x^4r) = raizx^4;cdot;4x^3

Passo 3

Agora basta simplificar raizx^4. Como
raizx^4 = (x^4)^tfrac12 = x^2
(uma vez que x^2>=0 para todo real), obtemos
f'(x) = x^2;cdot;4x^3 = 4x^5

Resposta

f'(x) = 4x^5

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