Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
gamma(t)=(e^t cos t, e^t sent), 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva paramétrica
gamma(t)=l(e^tcos t,;e^tsin tr), 0<= t<= tfracpi2
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no plano:
L=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt
Vamos derivar gamma(t), achar a norma do vetor velocidade e integrar de 0 a pi/2.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos
gamma'(t) =l(ddt[e^tcos t],;ddt[e^tsin t]r) =l(e^tcos t-e^tsin t,;e^tsin t+e^tcos tr)

Passo 3

Fatorando e^t e calculando a norma,
l|gamma'(t)r| =raiz(e^t)^2l[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2r] =raiz2,e^2t =raiz2,e^t

Passo 4

Substituindo no integral de comprimento de arco:
L=integral0^pi/2raiz2,e^t,dt =raiz2,l[e^tr]0^pi/2 =raiz2,l(e^pi/2-1r)

Resposta

L=raiz2,l(e^tfracpi2-1r)

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