Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integral0^tan x sec ^2 t d t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=integral0^tan x sec^2t,dt
Para isso usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo na forma de derivada de integral com limite superior dependente de x e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=tan x,
então
f(x)=integral0^u(x)sec^2t,dt
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo sabemos que
ddul(integral0^usec^2t,dtr)=sec^2u

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia:
f'(x) =ddul(integral0^usec^2t,dtr)|u=tan xcdot u'(x) =sec^2l(tan xr)cdotddx(tan x)
Como ddx(tan x)=sec^2x, então
f'(x)=sec^2l(tan xr),sec^2x

Resposta

f'(x)=sec^2l(tan xr),sec^2x

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