Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
r(t)=cos t i+sen t j+t k, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica r(t)=cos t,i+sen t,j+t,k no intervalo 0<= t<=2pi. O conteúdo é comprimento de arco de curvas espaciais, e vamos precisar usar a fórmula L=integrala^b|r'(t)|,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da função vetor. Como r(t)=(cos t,,sen t,,t), temos em cada componente:
r'(t)=(-sen t,,cos t,,1)

Passo 3

Agora achamos o módulo de r'(t). Note que
$$|\mathbf{r}’(t)|=\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^2+(\cos t)2+12} =\sqrt{\operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t+1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
$$

Passo 4

Com o módulo constante, montamos o integral do comprimento de arco:
L=integral0^2pi|r'(t)|,dt =integral0^2piraiz2,dt

Passo 5

Basta integrar uma constante. Temos
$$L=\sqrt{2},\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=\sqrt{2},(2\pi-0)=2\pi\sqrt{2}.
$$

Resposta

2piraiz2

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