Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
no intervalo
. O conteúdo é comprimento de arco de curvas espaciais, e vamos precisar usar a fórmula
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada da função vetor. Como
, temos em cada componente:
Passo 3
Agora achamos o módulo de
. Note que
$$|\mathbf{r}’(t)|=\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^2+(\cos t)2+12} =\sqrt{\operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t+1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
$$
Passo 4
Com o módulo constante, montamos o integral do comprimento de arco:
Passo 5
Basta integrar uma constante. Temos
$$L=\sqrt{2},\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=\sqrt{2},(2\pi-0)=2\pi\sqrt{2}.
$$