Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem um limite de uma função de duas variáveis, ou seja,
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre cálculo de limites. Para resolver isso, vamos precisar avaliar o comportamento da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
e
na função para ver o que acontece. Substituindo:
A gente obtém uma indeterminação
, o que significa que precisamos de uma estratégia melhor para avaliar esse limite.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação do tipo
, uma técnica útil é a expansão em série de Taylor para aproximar as funções perto do ponto de interesse. Vamos expandir
em torno de
.
A expansão de Taylor de
em torno de
é:
Como
está se aproximando de 1, podemos considerar apenas os primeiros termos da expansão:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do denominador:
Simplificando:
Passo 5
Agora, nossa expressão para o limite fica:
Podemos simplificar essa fração:
Resposta
O limite é igual a
.