lim (x, y) (1,1) y-x1-y+ln x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem um limite de uma função de duas variáveis, ou seja, . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre cálculo de limites. Para resolver isso, vamos precisar avaliar o comportamento da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 1 - 11 - 1 + ln 1 = 00 + 0 = 00 e na função para ver o que acontece. Substituindo:
A gente obtém uma indeterminação , o que significa que precisamos de uma estratégia melhor para avaliar esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação do tipo ln x approx (x - 1) - (x - 1)^22 + cdots , uma técnica útil é a expansão em série de Taylor para aproximar as funções perto do ponto de interesse. Vamos expandir ln x approx (x - 1) em torno de .
A expansão de Taylor de em torno de é:
Como está se aproximando de 1, podemos considerar apenas os primeiros termos da expansão:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do denominador:
1 - y + ln x approx 1 - y + (x - 1) = (1 - y) + (x - 1)
Simplificando:
1 - y + x - 1 = x - y

Passo 5

Agora, nossa expressão para o limite fica:
lim (x, y) (1,1) y - xx - y
Podemos simplificar essa fração:
y - xx - y = -(x - y)x - y = -1

Resposta

O limite é igual a .

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