Encontre f circ g e g circ f e determine seus domínios.
g(t)=t+ln t, f(x, y)=1-x y1+x^2 y^2

Passo 1

Enunciado: Encontrar as composições fcirc g e gcirc f e seus domínios. Conteúdo: teoria de composição de funções, restrições de domínio por logaritmo e denominador.

Passo 2

Identificar domínios:
Função g: domínio Dg=(0,infty) pois ln t exige t>0. Função f: domínio Df=R^2 pois 1+x^2y^2>0 para todo (x,y).

Passo 3

Análise de fcirc g: para compor fcirc g precisaríamos que g(t) retornasse um par (x,y) para alimentar f(x,y). Como g é unária e f é binária, não há aridade compatível. Logo, fcirc g não está definida.

Passo 4

Cálculo de gcirc f: definimos
(gcirc f)(x,y)=gl(f(x,y)r)=f(x,y)+lnl(f(x,y)r)
Para a parte logarítmica ser válida, precisamos
1-xy1+x^2y^2>0 Long<=ftrightarrow 1-xy>0 Long<=ftrightarrow xy<1
Assim o domínio de gcirc f é (x,y)inR^2mid xy<1.

Resposta

Não existe fcirc g. Para gcirc f temos
(gcirc f)(x,y)=1-xy1+x^2y^2+ln!l(tfrac1-xy1+x^2y^2r),
com domínio (x,y)inR^2mid xy<1.

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