Calcule o comprimento de cada curva no intervalo dado:
w(t)=(sen(t)-t cos (t), cos (t)+tsen(t)), t in[0,2]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
omega(t)=(sin t - tcos t,;cos t + tsin t)
no intervalo tin[0,2]. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica, que exige achar omega'(t), calcular seu módulo e integrar.

Passo 2

Para obter omega'(t), derivamos cada componente e simplificamos:
omega'(t) = l(cos t -(cos t - tsin t),;- sin t +(sin t + tcos t)r)
omega'(t) = (tsin t,;tcos t)

Passo 3

O módulo de omega'(t) é
|omega'(t)| = raiz(tsin t)^2 + (tcos t)^2 = raizt^2(sin^2t + cos^2t) = |t|
Como tin[0,2], temos |t|=t.

Passo 4

O comprimento L da curva é
L = integral0^2 |omega'(t)| ,dt = integral0^2 t ,dt = [t^22]0^2 = 2

Resposta

O comprimento da curva omega em [0,2] é 2.

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