Calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens abaixo: \alpha(t)=\left(t^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right), 0 \leq t \leq 2.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede-se: calcular o comprimento do caminho percorrido pela partícula que tem a parametrização \alpha(t) no intervalo dado.
onde \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor e \lVert \alpha'(t)\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (módulo da derivada).
Intuição: a derivada \alpha'(t) dá a velocidade instantânea; integrando o módulo da velocidade ao longo do tempo obtemos a distância total percorrida.
Para aplicar isso precisamos calcular x'(t) e y'(t) para t\in(0,2]. Em t=0 trataremos com limite (caso seja necessário).
Passo 3
Derivada de t^{t} e derivadas componentes (regras usadas: regra do produto, regra da cadeia, derivada de e^{\varphi(t)}).
Primeiro reescrever t^{t} como exponencial para derivar com facilidade:
t^{t}=e^{t\ln t}.
Diferenciando usando regra da cadeia e produto interno t\ln t:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{t}\bigr)=\frac{d}{dt}e^{t\ln t}=e^{t\ln t}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t\ln t\bigr) = t^{t}\bigl(\ln t + 1\bigr).
Agora derivamos cada componente de \alpha(t).
Para x(t)=t^{t}\cos t, usamos a regra do produto:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{t}\bigr)\cos t + t^{t}\cdot\frac{d}{dt}(\cos t) = t^{t}\bigl(\ln t + 1\bigr)\cos t - t^{t}\sin t.
Para y(t)=e^{t}\sin t, também regra do produto (derivada de e^{t} é e^{t}, derivada de \sin t é \cos t):
y'(t)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr).
Portanto, para t>0,
\alpha'(t)=\Bigl(t^{t}\bigl((\ln t +1)\cos t - \sin t\bigr),\; e^{t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr)\Bigr).
Passo 4
Escrever a velocidade e o integral do comprimento (forma final do integrando).
O módulo da derivada (velocidade) é
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert = \sqrt{\bigl(t^{t}\bigl((\ln t +1)\cos t - \sin t\bigr)\bigr)^{2} + \bigl(e^{t}(\sin t + \cos t)\bigr)^{2}}.
Então o comprimento do arco para 0\le t\le 2 é o integral impróprio
L=\int_{0}^{2}\sqrt{t^{2t}\bigl((\ln t +1)\cos t - \sin t\bigr)^{2} + e^{2t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr)^{2}}\;dt.
Observação didática: expandir os quadrados dá uma expressão mais longa, mas não simplifica para uma primitiva elementar óbvia; por isso o comprimento fica representado por este integral. Em muitas provas é aceitável apresentar o comprimento exatamente como este integral definido.
Passo 5
Discussão sobre t=0 — continuidade, derivabilidade e convergência do integral (por que o integral é bem definido).
Primeiro, nota sobre t^{t} em t=0: o limite \lim_{t\to0^{+}}t^{t}=1 porque t^{t}=e^{t\ln t} e t\ln t\to 0. Assim a função t^{t} tem continuidade por extensão no ponto 0 atribuindo o valor 1.
A fórmula da derivada que usamos para t^{t} envolve \ln t e, portanto só vale diretamente para t>0. De fato \frac{d}{dt}t^{t}=t^{t}(\ln t+1) diverge quando t\to0^{+} (porque \ln t\to -\infty), então x'(t) tende a -\infty aproximadamente. Logo a derivada não é finita em t=0, mas isso não impede o cálculo do comprimento: trata-se de um integral impróprio no extremo 0.
Para verificar que o integral converge (é finito), examinamos o comportamento do integrando quando t\to0^{+}.
Para t pequeno, t^{t}\to 1, \cos t\to 1, \sin t\sim t. Logo a parte do numerador envolvendo x'(t) se comporta como (\ln t + 1 - t) e domina via |\ln t|.
A outra componente y'(t)=e^{t}(\sin t + \cos t) tende a 1 quando t\to0.
Assim para t pequeno a velocidade se comporta como \sqrt{(\ln t)^{2}+1}, que cresce aproximadamente como |\ln t| quando t\to0^{+}.
Saber se \int_{0}^{\varepsilon}|\ln t|\,dt converge: há uma integral conhecida
\int_{0}^{1}|\ln t|\,dt=\int_{0}^{1}-\ln t\,dt=1,
logo |\ln t| é integrável no entorno de 0. Isso garante que o nosso integrando, que cresce com ordem semelhante a |\ln t|, é integrável perto de 0. Portanto o integral impróprio em 0 converge e o comprimento L é finito.
Passo 6
Conclusão final: expressão do comprimento e nota sobre avaliação numérica.
Conclui-se que o comprimento do caminho é dado pela integral imprópria explicitada abaixo. Não existe uma primitiva elementar simples para o integrando, então o resultado exato natural é a própria integral. Se for necessário um valor numérico, ele deve ser obtido por métodos numéricos (por exemplo, integração numérica), o que foge do cálculo analítico elemental sem calculadora.
Resposta
L=\int_{0}^{2}\sqrt{\,t^{2t}\bigl((\ln t +1)\cos t - \sin t\bigr)^{2} + e^{2t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr)^{2}\,}\;dt