Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a trajetória (função vetorial) e pede a equação da reta tangente no instante
. Informações fornecidas:
-
- O ponto indicado é
, isto é, o ponto da curva no parâmetro .
O que devemos encontrar: a reta tangente à curva em
. Para isso precisamos do ponto
e do vetor tangente (direção) naquele ponto, que é a derivada
.
Passo 2
Entendendo a derivada de uma função vetorial componente a componente: se
então
ou seja, a derivada do vetor é composta pelas derivadas das componentes. Regras úteis que vou usar:
- Regra do expoente (power rule): se
então . - Constante fora da função: se
então .
Vou reescrever as componentes em potências para diferenciar facilmente:
Passo 3
Agora calculo as derivadas das componentes usando as regras acima:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a derivada vetorial é
Passo 4
Avalio a derivada no ponto
. Calcule cada componente em
:
Logo
Passo 5
Agora encontro o ponto
. Calcule as componentes em
:
Assim
Passo 6
A reta tangente pode ser escrita na forma vetorial paramétrica (ponto + parâmetro vezes vetor direção). Usando um parâmetro
:
Substituindo os valores que calculamos:
Essa é a forma paramétrica da reta tangente.
Também é comum escrever a forma simétrica da reta, isolando
em cada componente:
Se preferir, pode multiplicar numerador e denominador por constantes para simplificar sinais/frações (isso apenas reparametriza a reta).
Passo 7
Breve verificação (útil na prova): ao colocar
na forma paramétrica obtém-se
, e a derivada em relação a
é exatamente
, confirmação de que a reta tem ponto e direção corretos.