Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
f(t)=\left(\frac{1}{t}, \frac{2}{t^{3}}, t^{2}\right) em F(2).

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória (função vetorial) e pede a equação da reta tangente no instante t=2. Informações fornecidas:
  • f(t)=\left(\frac{1}{t},\;\frac{2}{t^{3}},\;t^{2}\right).
  • O ponto indicado é F(2), isto é, o ponto da curva no parâmetro t=2.
O que devemos encontrar: a reta tangente à curva em t=2. Para isso precisamos do ponto f(2) e do vetor tangente (direção) naquele ponto, que é a derivada f'(2).

Passo 2

Entendendo a derivada de uma função vetorial componente a componente: se
f(t)=(x(t),y(t),z(t)),
então
f'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)),
ou seja, a derivada do vetor é composta pelas derivadas das componentes. Regras úteis que vou usar:
  • Regra do expoente (power rule): se g(t)=t^{n} então g'(t)=n\,t^{n-1}.
  • Constante fora da função: se h(t)=c\cdot g(t) então h'(t)=c\cdot g'(t).
Vou reescrever as componentes em potências para diferenciar facilmente:
\frac{1}{t}=t^{-1},\qquad \frac{2}{t^{3}}=2t^{-3},\qquad t^{2}=t^{2}.

Passo 3

Agora calculo as derivadas das componentes usando as regras acima:
  • Para x(t)=t^{-1}:
x'(t)=-1\cdot t^{-2}=-t^{-2}=-\frac{1}{t^{2}}.
  • Para y(t)=2t^{-3}:
y'(t)=2\cdot(-3)t^{-4}=-6t^{-4}=-\frac{6}{t^{4}}.
  • Para z(t)=t^{2}:
z'(t)=2t.
Portanto a derivada vetorial é
f'(t)=\left(-\frac{1}{t^{2}},\; -\frac{6}{t^{4}},\; 2t\right).

Passo 4

Avalio a derivada no ponto t=2. Calcule cada componente em t=2:
  • -\frac{1}{2^{2}}=-\frac{1}{4}.
  • -\frac{6}{2^{4}}=-\frac{6}{16}=-\frac{3}{8}.
  • 2\cdot 2=4.
Logo
f'(2)=\left(-\frac{1}{4},\; -\frac{3}{8},\;4\right).

Passo 5

Agora encontro o ponto f(2). Calcule as componentes em t=2:
  • \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • \frac{2}{2^{3}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
  • 2^{2}=4.
Assim
f(2)=\left(\frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\;4\right).

Passo 6

A reta tangente pode ser escrita na forma vetorial paramétrica (ponto + parâmetro vezes vetor direção). Usando um parâmetro \tau:
\mathbf{r}(\tau)=f(2)+\tau\,f'(2).
Substituindo os valores que calculamos:
\mathbf{r}(\tau)=\left(\frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\;4\right)+\tau\left(-\frac{1}{4},\; -\frac{3}{8},\;4\right).
Essa é a forma paramétrica da reta tangente.
Também é comum escrever a forma simétrica da reta, isolando \tau em cada componente:
\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{4}}=\frac{y-\tfrac{1}{4}}{-\tfrac{3}{8}}=\frac{z-4}{4}.
Se preferir, pode multiplicar numerador e denominador por constantes para simplificar sinais/frações (isso apenas reparametriza a reta).

Passo 7

Breve verificação (útil na prova): ao colocar \tau=0 na forma paramétrica obtém-se \mathbf{r}(0)=f(2), e a derivada em relação a \tau é exatamente f'(2), confirmação de que a reta tem ponto e direção corretos.

Resposta

\mathbf{r}(\tau)=\left(\frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\;4\right)+\tau\left(-\frac{1}{4},\; -\frac{3}{8},\;4\right)
\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{4}}=\frac{y-\tfrac{1}{4}}{-\tfrac{3}{8}}=\frac{z-4}{4}

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