Calcule o comprimento da curva alpha dada por:
alpha:[0,1] longrightarrow R^3 dada por alpha(t)=(e^-t cos (t), e^-t sen(t), e^-t).

Passo 1

Temos a curva alpha:[0,1]toR^3 definida por alpha(t)=(e^-tcos(t),,e^-tsin(t),,e^-t). O conteúdo envolve comprimento de arco de curva paramétrica em R^3. Vamos usar a fórmula de comprimento
L=integral0^1|alpha'(t)|,dt,
portanto precisamos calcular alpha'(t), achar |alpha'(t)| e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em cada componente para achar alpha'(t). Para a primeira componente:
ddt(e^-tcos t)=e^-t(-cos t-sin t)
Para a segunda:
ddt(e^-tsin t)=e^-t(cos t-sin t)
Para a terceira:
ddt(e^-t)=-e^-t
Logo,
alpha'(t)=l(e^-t(-cos t-sin t),,e^-t(cos t-sin t),,-e^-tr)

Passo 3

Agora calculamos a norma |alpha'(t)|. Primeiro escrevemos o quadrado da norma:
|alpha'(t)|^2=e^-2tl[(-cos t-sin t)^2+(cos t-sin t)^2+1r]
Expandindo as quadraturas:
(-cos t-sin t)^2=1+sin(2t),(cos t-sin t)^2=1-sin(2t)
Somando tudo:
1+sin(2t)+1-sin(2t)+1=3
Portanto |alpha'(t)|^2=3e^-2t e
|alpha'(t)|=raiz3,e^-t

Passo 4

Substituindo na fórmula de comprimento, temos
L=integral0^1raiz3,e^-t,dt
A primitiva de e^-t é -e^-t, então
L=raiz3,l[-e^-tr]0^1 =raiz3,(1-e^-1)

Resposta

raiz3(1-e^-1)

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