Nos Exercs. 12 a 15, calcule as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados.
f(z)=1 / z e C vai de -i a +i, passando pelo semiplano Re z>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC 1z ,dz, onde C é o semicírculo de raio 1 que vai de -i a +i passando pelo semiplano Re z>0. O conteúdo é integração em contorno de funções analíticas e vamos precisar usar o teorema do valor fundamental (primitiva) e a função adequada para esse domínio.

Passo 2

Como 1z é analítica em z: Re z>0 (que é simplesmente conexo e não contém o polo em 0), podemos usar como primitiva a função na sua ramo principal restrito a Log z. Nesse ramo temos continuidade ao longo de -tfracpi2. Pelo teorema do valor fundamental,

Passo 3

No ramo escolhido temos e . Substituindo:

Resposta

i\pi

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