A curva parametrizada alpha dada por alpha(t)=(t^3, t^3, t^3) é uma reta?

Passo 1

O enunciado pergunta se a curva paramétrica alpha(t)=(t^3,t^3,t^3) é uma reta. O assunto envolve curvas em R^3 e reparametrização para verificar se todos os pontos ficam numa mesma linha.

Passo 2

Percebemos que, para todo t, as coordenadas satisfazem x=y=z. Logo, a imagem de alpha está contida na reta que passa pela origem e tem direção (1,1,1).

Passo 3

Para tornar isso explícito, definimos uma reparametrização: seja s=t^3. Então podemos escrever
alpha(t)=(t^3,t^3,t^3)=(s,s,s)=s,(1,1,1)

Passo 4

Como alpha se tornou uma função linear de s, concluímos que sua imagem é exatamente a reta r(s)=s,(1,1,1).

Resposta

Sim. A curva alpha(t)=(t^3,t^3,t^3) descreve a reta que passa pela origem com direção (1,1,1).

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