Calcule o comprimento da curva alpha dada por:
alpha:[1, e] longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(t, ln (t)).

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o comprimento da curva alpha:[1,e]toR^2 definida por alpha(t)=(t,ln t). O conteúdo é comprimento de curva paramétrica e vamos precisar da fórmula
L=integrala^b |alpha'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos alpha'(t); como alpha(t)=(t,ln t), temos alpha'(t)=(1,tfrac1t). Logo
|alpha'(t)|=raiz1+1t^2

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos
L=integral1^eraiz1+1t^2,dt = integral1^eraizt^2+1t,dt

Passo 4

Para calcular integralraizt^2+1t,dt, usamos a primitiva conhecida
integralraizt^2+1t,dt = raizt^2+1 - lnl(1+raizt^2+1tr) + C

Passo 5

Aplicamos os limites de 1 a e:
L=[raizt^2+1 - lnl(1+raizt^2+1tr)]1^e

Passo 6

Avaliamos em t=e e em t=1, obtendo
L=l(raize^2+1-ln1+raize^2+1er) - l(raiz2 - ln(1+raiz2)r)

Passo 7

Como ln e=1, simplificamos o termo logarítmico e chegamos a
L=raize^2+1 - raiz2 +1 - lnl(1+raize^2+11+raiz2r)

Resposta

raize^2+1 - raiz2 +1 - lnl(tfrac1+raize^2+11+raiz2r)

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