Calcule o comprimento da curva alpha dada por:
alpha:[0,3] longrightarrow R^3 dada por alpha(t)=(2 t^3, 2 t, raiz6 t^2).

Passo 1

Estamos com uma curva parametrizada alpha:[0,3]to R^3 dada por alpha(t)=(2t^3,2t,raiz6,t^2). O objetivo é calcular o comprimento de arco dessa curva usando conceitos de cálculo de curvas no espaço: vamos precisar da definição de comprimento L=integrala^b|alpha'(t)|,dt, calcular a derivada alpha'(t) e em seguida a norma |alpha'(t)|.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada componente a componente obtemos
alpha'(t)=l(6t^2,;2,;2raiz6,tr)
Agora calculamos a norma da velocidade:
|alpha'(t)|=raiz(6t^2)^2+2^2+(2raiz6,t)^2=raiz36t^4+4+24t^2=raiz(6t^2+2)^2=6t^2+2,
já que 6t^2+2>=0 em [0,3].

Passo 3

O comprimento de arco é então
L=integral0^3l(6t^2+2r),dt=[2t^3+2t]0^3=2cdot27+2cdot3=54+6=60

Resposta

60

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