Considere alpha:(-1,1) longrightarrow R^3 dada por alpha(s)=((1+s)^3 / 23, (1-s)^3 / 23, sraiz2).
Verifique que alpha está parametrizada pelo comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva alpha:(-1,1)toR^3 definida por alpha(s)=l(tfrac(1+s)^3/23,,tfrac(1-s)^3/23,,tfracsraiz2r) é parametrizada por comprimento de arco. Para isso precisamos usar o conceito de parametrização pelo comprimento de arco, que significa mostrar que a derivada satisfaz |alpha'(s)|=1 para todo s.

Passo 2

Vamos calcular derivada de alpha(s) componente a componente usando regra da cadeia e derivada de potências. A derivada é
alpha'(s)=l(tfrac12(1+s)^1/2,,-tfrac12(1-s)^1/2,,tfrac1raiz2r)

Passo 3

Agora vamos verificar que o módulo de alpha'(s) vale 1. Calculamos:
|alpha'(s)|^2=l(tfrac12(1+s)^1/2r)^2+l(-tfrac12(1-s)^1/2r)^2+l(tfrac1raiz2r)^2=tfrac1+s4+tfrac1-s4+tfrac12=1

Passo 4

Como |alpha'(s)|^2=1 implica |alpha'(s)|=1, concluímos que a curva é de velocidade unitária, ou seja, está parametrizada pelo comprimento de arco.

Resposta

A parametrização é por comprimento de arco, pois |alpha'(s)|=1 para todo sin(-1,1).

Exercícios relacionados