Discuta a continuidade da função
dada por
Passo 1
Temos a função
Queremos discutir a continuidade dessa função de duas variáveis; precisaremos usar a definição de continuidade, verificar a continuidade em pontos onde a expressão usual vale e analisar o limite em
.
Passo 2
Para todo ponto
o denominador
é sempre positivo, então
é composição de funções contínuas (potência, soma, divisão e radiciação) em um domínio sem divisão por zero. Logo,
é contínua em qualquer ponto diferente de
.
Passo 3
Para testar a continuidade em
usamos que
será contínua em
se
existe e é igual a
. Caso contrário, há descontinuidade.
Passo 4
Na reta
temos
Logo, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 5
Na curva
calculamos:
Então
Assim, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 6
Como os limites por trajetórias diferentes não coincidem, o limite geral de
quando
não existe. Além disso, mesmo que existisse, não seria igual a
. Portanto,
é descontínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
e descontínua em
.