Discuta a continuidade da função f dada por
f(x, y)=rrr raiz[2024]x^3 y^3x^12+y^4, & se & (x, y) neq(0,0) 12, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Temos a função
f(x, y)= raiz[2024]x^3y^3x^12+y^4, & (x,y)neq(0,0), 12, & (x,y)=(0,0)
Queremos discutir a continuidade dessa função de duas variáveis; precisaremos usar a definição de continuidade, verificar a continuidade em pontos onde a expressão usual vale e analisar o limite em (0,0).

Passo 2

Para todo ponto (x,y)neq(0,0) o denominador x^12+y^4 é sempre positivo, então f é composição de funções contínuas (potência, soma, divisão e radiciação) em um domínio sem divisão por zero. Logo, f é contínua em qualquer ponto diferente de (0,0).

Passo 3

Para testar a continuidade em (0,0) usamos que f será contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=12. Caso contrário, há descontinuidade.

Passo 4

Na reta y=0 temos
f(x,0)=raiz[2024]x^3cdot0^3x^12+0^4=raiz[2024]0=0
Logo, pelo caminho y=0, o limite é 0.

Passo 5

Na curva y=x^3 calculamos:
numerador = x^3cdot(x^3)^3 = x^12, denominador = x^12 + (x^3)^4 = 2x^12
Então
f(x,x^3)=raiz[2024]x^122x^12=raiz[2024]tfrac12
Assim, pelo caminho y=x^3, o limite é raiz[2024]tfrac12=(tfrac12)^1/2024neq0.

Passo 6

Como os limites por trajetórias diferentes não coincidem, o limite geral de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe. Além disso, mesmo que existisse, não seria igual a f(0,0)=12. Portanto, f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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