Seja uma curva dada por . Podemos afirmar que é plana? justifique sua resposta.
Dica: Use .
Passo 1
O enunciado nos dá a curva α: ℝ→ℝ³ definida por α(t)=(sen(t), cos(t), sen(t)). Queremos saber se ela é plana, ou seja, se existe um plano que a contém. Para isso vamos usar a noção de torção τ(t)=, um conceito de geometria diferencial de curvas.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de α. Temos as derivadas:
Passo 3
Em seguida, calculamos o produto vetorial e seu módulo ao quadrado:
|α'(t) times α''(t)|^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 2
Passo 4
Agora calculamos o produto misto e a torção:
[α'(t),α''(t),α'''(t)] = (α'(t) times α''(t))cdot α'''(t) = (1,0,-1)cdot(-cos t,,sin t,,-cos t) = -cos t + cos t = 0