Seja alpha: R longrightarrow R^3 uma curva dada por alpha(t)=(sen(t), cos (t), sen(t)). Podemos afirmar que alpha é plana? justifique sua resposta.
Dica: Use tau(t)=[alpha^prime, alpha^prime prime, alpha^prime prime prime]|alpha^prime times alpha^prime prime|^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva α: ℝ→ℝ³ definida por α(t)=(sen(t), cos(t), sen(t)). Queremos saber se ela é plana, ou seja, se existe um plano que a contém. Para isso vamos usar a noção de torção τ(t)= [α,α,α]|α×α|^2, um conceito de geometria diferencial de curvas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de α. Temos as derivadas:
α'(t) = (cos t,,-sin t,,cos t)
α''(t) = (-sin t,,-cos t,,-sin t)
α'''(t) = (-cos t,,sin t,,-cos t)

Passo 3

Em seguida, calculamos o produto vetorial e seu módulo ao quadrado:
α'(t) times α''(t) = 𝑖 & 𝑗 & 𝑘 cos t & -sin t & cos t -sin t & -cos t & -sin t = (1,0,-1)
|α'(t) times α''(t)|^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 2

Passo 4

Agora calculamos o produto misto e a torção:
[α'(t),α''(t),α'''(t)] = (α'(t) times α''(t))cdot α'''(t) = (1,0,-1)cdot(-cos t,,sin t,,-cos t) = -cos t + cos t = 0

Passo 5

Usando a definição
τ(t) = [α',α'',α''']|α'times α''|^2 Longrightarrow τ(t) = 02 = 0,

Passo 6

Como τ(t)=0 para todo t, a curva é plana. Além disso, todos os pontos satisfazem z=x, então ela está contida no plano x - z = 0.

Resposta

Sim. A curva é plana, pois sua torção τ(t) é nula para todo t, e ela está contida no plano x - z = 0.

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