Por que a curva parametrizada
dada por
não possui reta tangente em
?
Passo 1
Estamos com a curva parametrizada
em
. O que queremos é entender se existe reta tangente em
, ou seja, se
é diferenciável ali e se
está bem definida.
Passo 2
Para ver a diferenciabilidade, vamos calcular
para
. Derivando coordenada a coordenada, temos:
Passo 3
Agora olhamos para
. Nas duas primeiras coordenadas tudo vai bem: são funções polinomiais e sua derivada tende a
. Mas a terceira coordenada, que envolve
, tem derivada
quando
e
quando
. Ou seja,
Passo 4
Como as derivadas laterais da terceira componente não coincidem,
não existe em
. Sem derivada única, não há vetor tangente bem definido, logo não existe reta tangente nesse ponto.
Resposta
A função não é diferenciável em
por causa da componente
, cuja derivada lateral esquerda (
) difere da lateral direita (
). Portanto não há reta tangente em
.