Por que a curva parametrizada alpha dada por alpha(t)=(t^22022, t^32023, |t-6|2024) não possui reta tangente em t=6 ?

Passo 1

Estamos com a curva parametrizada alpha(t) = l(tfract^22022,,tfract^32023,,tfrac|t-6|2024r) em R^3. O que queremos é entender se existe reta tangente em t=6, ou seja, se alpha é diferenciável ali e se alpha'(6) está bem definida.

Passo 2

Para ver a diferenciabilidade, vamos calcular alpha'(t) para tneq 6. Derivando coordenada a coordenada, temos:
alpha'(t)=gl(ddtt^22022,;ddtt^32023,;ddt|t-6|2024gr) =gl(2t2022,;3t^22023,;sgn(t-6)2024gr) =gl(t1011,;3t^22023,;sgn(t-6)2024gr)

Passo 3

Agora olhamos para tto6. Nas duas primeiras coordenadas tudo vai bem: são funções polinomiais e sua derivada tende a (6/1011,,3cdot6^2/2023). Mas a terceira coordenada, que envolve |t-6|, tem derivada +1/2024 quando t>6 e -1/2024 quando t<6. Ou seja,
limtto6^-ddt|t-6|2024=-12024, limtto6^+ddt|t-6|2024=+12024

Passo 4

Como as derivadas laterais da terceira componente não coincidem, alpha' não existe em t=6. Sem derivada única, não há vetor tangente bem definido, logo não existe reta tangente nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em t=6 por causa da componente |t-6|/2024, cuja derivada lateral esquerda ( -1/2024) difere da lateral direita ( +1/2024). Portanto não há reta tangente em t=6.

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