Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=sen zcos ^3 z e C é o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ointC f(z),dz=0 onde f(z)=dfracsin zcos^3 z e C é o círculo |z|=1. O conteúdo é o Teorema de Cauchy para funções analíticas, e vamos precisar verificar se f é analítica em e no interior de C.

Passo 2

As singularidades de f(z) ocorrem quando o denominador cos^3 z=0, ou seja, quando cos z=0. Essas raízes são dadas por
z=pi2+kpi, kinZ

Passo 3

Os valores mais próximos da origem são z=pmtfracpi2, e temos
l|tfracpi2r|approx1,57>1,
outros k só aumentam o módulo. Logo, nenhum dos pontos pi2+kpi está dentro do disco |z|<1.

Passo 4

Como não há singularidades de f em |z|<=1, a função é analítica nessa região. Pelo Teorema de Cauchy, a integral de contorno de uma função analítica é nula, independentemente da orientação de C.

Resposta

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