Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos dados. Observe que a orientação de é irrelevante. e é o círculo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que onde e é o círculo . O conteúdo é o Teorema de Cauchy para funções analíticas, e vamos precisar verificar se é analítica em e no interior de .
Passo 2
As singularidades de ocorrem quando o denominador , ou seja, quando . Essas raízes são dadas por
Passo 3
Os valores mais próximos da origem são , e temos
outros k só aumentam o módulo. Logo, nenhum dos pontos pi2+kpi está dentro do disco |z|<1.
Passo 4
Como não há singularidades de f em |z|<=1, a função é analítica nessa região. Pelo Teorema de Cauchy, a integral de contorno de uma função analítica é nula, independentemente da orientação de C.