Calcule o comprimento da curva
alpha(t)=(t, t^3 / 2), t in[0,4]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva alpha(t)=(t,t^3/2) para tin[0,4]. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica em R^2 e vamos precisar da derivada de alpha, do módulo dessa derivada e de uma integral para chegar no resultado.

Passo 2

Para calcular a derivada, definimos alpha'(t)=(x'(t),y'(t)). Temos
x'(t)=1, y'(t)=ddtl(t^3/2r)=32t^1/2

Passo 3

O próximo passo é usar a fórmula do comprimento de curva:
L=integral0^4|alpha'(t)|,dt=integral0^4raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 4

Substituindo x'(t)=1 e y'(t)=tfrac32t^1/2, o integrando fica
raiz1+(32t^1/2)^2=raiz1+94t=12raiz9t+4

Passo 5

Logo
L=integral0^412raiz9t+4,dt=12integral0^4raiz9t+4,dt

Passo 6

Para avaliar essa integral, fazemos a substituição u=9t+4, logo du=9,dt e quando t=0 temos u=4, quando t=4 temos u=40. Assim:
L=12integralu=4^40raizucdotdu9=118integral4^40u^1/2,du

Passo 7

Integrando,
118cdot23u^3/2|4^40=127l(40^3/2-4^3/2r)

Resposta

L=dfrac127l(40^3/2-4^3/2r)=dfrac8l(10raiz10-1r)27

Exercícios relacionados