Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores não nulos $ u, v, w $ em e queremos mostrar que:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, especificamente sobre produto vetorial e distribuição sobre a adição. Para resolver, vamos precisar entender como o produto vetorial funciona e suas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e em é um vetor que é perpendicular a ambos e . A fórmula para calcular o produto vetorial é:
onde i, j, k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y, z, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos focar na propriedade que queremos provar: a distribuição do produto vetorial sobre a adição. Ou seja, queremos mostrar que:
u times (v + w) = u times v + u times w
Para isso, vamos calcular o lado esquerdo da igualdade e o lado direito separadamente, e ver se eles são iguais.
Passo 4
Primeiro, calculando u times (v + w):
u times (v + w) = i & j & k u1 & u2 & u3 (v + w)1 & (v + w)2 & (v + w)3
Como v + w é a soma dos vetores, podemos expandir a terceira linha:
= i & j & k u1 & u2 & u3 v1 + w1 & v2 + w2 & v3 + w3
Passo 5
Agora, usando a propriedade de que o determinante é linear em cada linha, podemos distribuir o determinante:
= i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 + i & j & k u1 & u2 & u3 w1 & w2 & w3
Esses determinantes são justamente u times v e u times w respectivamente.
Passo 6
Portanto, temos que:
u times (v + w) = u times v + u times w
Isso mostra que o produto vetorial distribui sobre a adição de vetores.
Resposta
Assim, comprovamos que para quaisquer vetores não nulos u, v, w in R^3: