Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 6 cm de largura e 20 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.

Passo 1

O enunciado pede que de um retângulo de cartolina de 6 cm por 20 cm cortemos quadrados de lado x em cada canto e viremos as abas para formar uma caixa sem tampa. O conteúdo aqui é otimização de função (volume) usando derivadas. Vamos precisar: expressar o volume V(x) em função de x, achar V’(x), encontrar o x que zera V’ e verificar que dá máximo.

Passo 2

Depois de cortar quadrados de lado x, as dimensões da base da caixa virada serão (6−2x) por (20−2x) e a altura será x. Logo, podemos escrever o volume V(x) como
V(x)=x,(6-2x),(20-2x)
O domínio natural de x é 0<x<3 (para que as dimensões da base fiquem positivas).

Passo 3

Para otimizar, calculamos a derivada V’(x). Primeiro expandimos V(x):
V(x)=xl(120-52x+4x^2r)=120x-52x^2+4x^3
Então
V'(x)=ddxl(120x-52x^2+4x^3r)=120-104x+12x^2

Passo 4

Agora achamos os pontos críticos resolvendo V’(x)=0. Temos a equação
12x^2-104x+120=0
Dividindo por 4:
3x^2-26x+30=0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x=26pmraiz26^2-4cdot3cdot302cdot3=26pmraiz676-3606=26pmraiz3166=13pmraiz793
Desses, apenas x= 13-raiz793 está no intervalo (0,3).

Passo 5

Para confirmar que é máximo, observamos a segunda derivada:
V''(x)=ddx(120-104x+12x^2)=-104+24x
Em x= 13-raiz793 temos V’’<0, logo é um ponto de máximo. Nos extremos x→0 ou x→3 o volume é zero, então o valor crítico realmente maximiza o volume da caixa.

Resposta

x=13-raiz793;cm\approx1,37;cm

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