Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 6 cm de largura e 20 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede que de um retângulo de cartolina de 6 cm por 20 cm cortemos quadrados de lado x em cada canto e viremos as abas para formar uma caixa sem tampa. O conteúdo aqui é otimização de função (volume) usando derivadas. Vamos precisar: expressar o volume V(x) em função de x, achar V’(x), encontrar o x que zera V’ e verificar que dá máximo.
Passo 2
Depois de cortar quadrados de lado x, as dimensões da base da caixa virada serão (6−2x) por (20−2x) e a altura será x. Logo, podemos escrever o volume V(x) como
O domínio natural de x é 0<x<3 (para que as dimensões da base fiquem positivas).
Passo 3
Para otimizar, calculamos a derivada V’(x). Primeiro expandimos V(x):
Então
Passo 4
Agora achamos os pontos críticos resolvendo V’(x)=0. Temos a equação
Dividindo por 4:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Desses, apenas x=
está no intervalo (0,3).
Passo 5
Para confirmar que é máximo, observamos a segunda derivada:
Em x=
temos V’’<0, logo é um ponto de máximo. Nos extremos x→0 ou x→3 o volume é zero, então o valor crítico realmente maximiza o volume da caixa.