Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
f(x)=(5 x^4-2 x+1)(2 x^3-3 x^2+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(5x^{4} - 2x + 1\right)\left(2x^{3} - 3x^{2} + x\right) $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que é uma técnica de cálculo usada quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos precisar saber como derivar polinômios e aplicar essa regra certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes do produto. Vamos chamar:
u(x) = 5x^4 - 2x + 1
v(x) = 2x^3 - 3x^2 + x
A regra do produto diz que a derivada de $ f(x) = u(x)v(x) $ é:
f(x) = u(x)v(x)
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) $:
u(x)
u'(x) = ddx(5x^4) - ddx(2x) + ddx(1)
u'(x) = 20x^3 - 2 + 0

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) $:
v(x)
v'(x) = ddx(2x^3) - ddx(3x^2) + ddx(x)

Passo 5

Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo:
f'(x) = (20x^3 - 2)(2x^3 - 3x^2 + x) + (5x^4 - 2x + 1)(6x^2 - 6x + 1)

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as expressões:
Primeiro multiplicamos $ (20x^{3} - 2) $ por $ (2x^{3} - 3x^{2} + x) $:
(20x^3 - 2)
(2x^3 - 3x^2 + x)
20x^3 cdot 2x^3 = 40x^6
20x^3 cdot (-3x^2) = -60x^5
20x^3 cdot x = 20x^4
-2 cdot 2x^3 = -4x^3
Somando tudo:
-2 cdot (-3x^2) = 6x^2

Passo 7

Agora multiplicamos $ (5x^{4} - 2x + 1) $ por $ (6x^{2} - 6x + 1) $:
(5x^4 - 2x + 1)
(6x^2 - 6x + 1)
5x^4 cdot 6x^2 = 30x^6
5x^4 cdot (-6x) = -30x^5
5x^4 cdot 1 = 5x^4
-2x cdot 6x^2 = -12x^3
-2x cdot (-6x) = 12x^2
-2x cdot 1 = -2x
1 cdot 6x^2 = 6x^2
Somando tudo:
1 cdot (-6x) = -6x
Simplificando:
1 cdot 1 = 1

Passo 8

Agora, somamos os resultados dos dois produtos:
(40x^6 - 60x^5 + 20x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 2x) + (30x^6 - 30x^5 + 5x^4 - 12x^3 + 18x^2 - 8x + 1)
Somando termo a termo:
40x^6 + 30x^6 = 70x^6
-60x^5 -30x^5 = -90x^5
20x^4 + 5x^4 = 25x^4
-4x^3 -12x^3 = -16x^3
6x^2 + 18x^2 = 24x^2
-2x -8x = -10x
+1
Então, a derivada simplificada fica:
f'(x) = 70x^6 - 90x^5 + 25x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 10x + 1

Resposta

A derivada simplificada de $ f(x) $ é:
f(x)

Exercícios relacionados