Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(5x^{4} - 2x + 1\right)\left(2x^{3} - 3x^{2} + x\right) $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que é uma técnica de cálculo usada quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos precisar saber como derivar polinômios e aplicar essa regra certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes do produto. Vamos chamar:
A regra do produto diz que a derivada de $ f(x) = u(x)v(x) $ é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) $:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) $:
Passo 5
Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as expressões:
Primeiro multiplicamos $ (20x^{3} - 2) $ por $ (2x^{3} - 3x^{2} + x) $:
Primeiro multiplicamos $ (20x^{3} - 2) $ por $ (2x^{3} - 3x^{2} + x) $:
Somando tudo:
Passo 7
Agora multiplicamos $ (5x^{4} - 2x + 1) $ por $ (6x^{2} - 6x + 1) $:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, somamos os resultados dos dois produtos:
Somando termo a termo:
Então, a derivada simplificada fica:
Resposta
A derivada simplificada de $ f(x) $ é: