Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva que está definida pelas equações paramétricas $ x = \frac{t^{2}}{2} $ e $ y = \frac{2 t^{2}}{5} $, onde $ t $ varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo que trata do comprimento de curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $. Vamos lá:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada, que é:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.
Passo 4
Vamos substituir as derivadas que encontramos na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Continuando a simplificação:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
O comprimento da curva é $ \frac{\sqrt{41}}{10} $ unidades.