Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica
x=t^22, y=2 t^25, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva que está definida pelas equações paramétricas $ x = \frac{t^{2}}{2} $ e $ y = \frac{2 t^{2}}{5} $, onde $ t $ varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo que trata do comprimento de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $. Vamos lá:
x
y

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada, que é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.

Passo 4

Vamos substituir as derivadas que encontramos na fórmula:
L = integral0^1 raizt^2 + (4t5)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
L = integral0^1 raizt^2 + 16t^225 , dt = integral0^1 raiz25t^2 + 16t^225 , dt = integral0^1 raiz41t^225 , dt

Passo 5

Continuando a simplificação:
raiz41t^225 = raiz41 , t5
Então, a integral fica:
L = integral0^1 raiz41 , t5 , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
L = raiz415 integral0^1 t , dt = raiz415 [ t^22 ]0^1 = raiz415 ( 12 - 0 ) = raiz4110

Resposta

O comprimento da curva é $ \frac{\sqrt{41}}{10} $ unidades.

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