Calcule a integral
integral raiz9+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz9 + x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica, já que a expressão dentro da raiz tem a forma a^2 + x^2. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: 9 + x^2. Isso se parece com a^2 + x^2, onde a = 3. Para simplificar a integral, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = 3 tantheta
Essa substituição nos ajuda a transformar a raiz quadrada em uma expressão com funções trigonométricas mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar x em relação a theta para encontrar dx:
dx = 3 sec^2theta , dtheta
Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral raiz9 + (3 tantheta)^2 cdot 3 sec^2theta , dtheta

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
9 + 9 tan^2theta = 9(1 + tan^2theta) = 9 sec^2theta
Portanto, a integral fica:
integral raiz9 sec^2theta cdot 3 sec^2theta , dtheta = integral 3 sectheta cdot 3 sec^2theta , dtheta = 9 integral sec^3theta , dtheta

Passo 5

A integral de sec^3theta é um pouco mais complicada, mas podemos usar uma fórmula conhecida:
integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln|sectheta + tantheta| + C
Então, substituindo de volta:
9 ( 12 sectheta tantheta + 12 ln|sectheta + tantheta| ) + C = 92 sectheta tantheta + 92 ln|sectheta + tantheta| + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 3 tantheta, podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar sectheta e tantheta em termos de x.
No triângulo:
  • Cateto oposto: x
  • Cateto adjacente: 3
  • Hipotenusa: raiz9 + x^2
Assim:
tantheta = x3, sectheta = raiz9 + x^23
Substituindo de volta:
92 cdot raiz9 + x^23 cdot x3 + 92 ln|raiz9 + x^23 + x3| + C
Simplificando:
92 cdot x raiz9 + x^29 + 92 ln|raiz9 + x^2 + x3| + C = 12 x raiz9 + x^2 + 92 ln|raiz9 + x^2 + x| - 92 ln3 + C
Como -92 ln3 é uma constante, podemos absorvê-la na constante C.

Resposta

A integral integral raiz9 + x^2 , dx é igual a:
12 x raiz9 + x^2 + 92 ln|raiz9 + x^2 + x| + C
onde C é a constante de integração.

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