Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica, já que a expressão dentro da raiz tem a forma . Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: . Isso se parece com , onde . Para simplificar a integral, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Essa substituição nos ajuda a transformar a raiz quadrada em uma expressão com funções trigonométricas mais fáceis de integrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Substituindo e na integral original, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
A integral de é um pouco mais complicada, mas podemos usar uma fórmula conhecida:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar e em termos de .
No triângulo:
Cateto oposto:
Cateto adjacente:
Hipotenusa:
Assim:
Substituindo de volta:
Simplificando:
92 cdot x raiz9 + x^29 + 92 ln|raiz9 + x^2 + x3| + C = 12 x raiz9 + x^2 + 92 ln|raiz9 + x^2 + x| - 92 ln3 + C
Como -92 ln3 é uma constante, podemos absorvê-la na constante C.