Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por entre e . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular e :
então
então
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Podemos fatorar 36 dentro da raiz para simplificar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando :
Agora, voltamos para :
Passo 8
Vamos calcular os limites:
Para t = 2:
2(1 + 2^2)^3/2 = 2(5)^3/2 = 2 times raiz5^3 = 2 times raiz125 = 2 times 11.180 = 22.360
Para t = 1:
2(1 + 1^2)^3/2 = 2(2)^3/2 = 2 times raiz8 = 2 times 2.828 = 5.656
Passo 9
Subtraindo os resultados:
L = 22.360 - 5.656 = 16.704
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente 16,70 unidades.