Calcule o comprimento da curva dada por gamma(t)=(3 t^2, 2 t^3) para 1 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por gamma(t) = (3t^2, 2t^3) no intervalo de t = 1 até t = 2. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por gamma(t) = (x(t), y(t)) entre t = a e t = b. A fórmula é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular dxdt e dydt:
  • x(t) = 3t^2 então dxdt = 6t
  • y(t) = 2t^3 então dydt = 6t^2

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral1^2 raiz(6t)^2 + (6t^2)^2 , dt = integral1^2 raiz36t^2 + 36t^4 , dt

Passo 5

Podemos fatorar 36 dentro da raiz para simplificar:
raiz36t^2 + 36t^4 = raiz36(t^2 + t^4) = 6raizt^2 + t^4 = 6traiz1 + t^2
Então, a integral fica:
L = integral1^2 6traiz1 + t^2 , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = 1 + t^2, então dudt = 2t ou dt = du2t. Substituindo na integral:
L = integral 6t raizu cdot du2t = 3 integral raizu , du

Passo 7

Integrando raizu:
3 integral u^1/2 , du = 3 cdot 23 u^3/2 + C = 2u^3/2 + C
Agora, voltamos para t:
L = 2(1 + t^2)^3/2 |1^2

Passo 8

Vamos calcular os limites:
Para t = 2:
2(1 + 2^2)^3/2 = 2(5)^3/2 = 2 times raiz5^3 = 2 times raiz125 = 2 times 11.180 = 22.360
Para t = 1:
2(1 + 1^2)^3/2 = 2(2)^3/2 = 2 times raiz8 = 2 times 2.828 = 5.656

Passo 9

Subtraindo os resultados:
L = 22.360 - 5.656 = 16.704

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 16,70 unidades.

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