Considere a função h(x)=2 x^2+1x^2-4, definida para todo x neq pm 2.
Determine os intervalos onde h é côncavo para cima/baixo. Determine ainda os seus pontos de inflexão, se os houver.

Passo 1

Temos a função h(x)=2x^2+1x^2-4, definida para todo xneqpm2. O conteúdo de matéria é análise de concavidade e pontos de inflexão usando derivadas até a segunda ordem; vamos precisar calcular h'(x), depois h''(x) e estudar o sinal de h''(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para encontrar a primeira derivada. Temos:
h'(x)=(4x)(x^2-4)-(2x^2+1)(2x)(x^2-4)^2 =-18x(x^2-4)^2

Passo 3

Agora derivamos h'(x) para obter h''(x), novamente via regra do quociente:
h''(x)=-18(x^2-4)^2-(-18x)cdot 4x(x^2-4)(x^2-4)^4 =18(x^2-4)(3x^2+4)(x^2-4)^4 =18(3x^2+4)(x^2-4)^3

Passo 4

O numerador 18(3x^2+4) é sempre positivo. O sinal de h''(x) vem de (x^2-4)^3:
  • Se |x|>2, então x^2-4>0 e h''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Se -2, então x^2-4<0 e h''(x)<0 (côncavo para baixo).

Passo 5

Pontos de inflexão exigem h''(x)=0 ou mudança de sinal com continuidade. Aqui h''(x) nunca zera no domínio e as únicas mudanças de sinal ocorrem em x=pm2, onde h não está definida. Logo não há pontos de inflexão.

Resposta

h é côncava para cima em (-∞, -2) ∪ (2, ∞), côncava para baixo em (-2, 2) e não possui pontos de inflexão.

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