Considere a função
, definida para todo
.
Determine os intervalos onde
é côncavo para cima/baixo. Determine ainda os seus pontos de inflexão, se os houver.
Determine os intervalos onde
Passo 1
Temos a função
, definida para todo
. O conteúdo de matéria é análise de concavidade e pontos de inflexão usando derivadas até a segunda ordem; vamos precisar calcular
, depois
e estudar o sinal de
.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente para encontrar a primeira derivada. Temos:
Passo 3
Agora derivamos
para obter
, novamente via regra do quociente:
Passo 4
O numerador
é sempre positivo. O sinal de
vem de
:
- Se
, então e (côncavo para cima). - Se
, então e (côncavo para baixo).
Passo 5
Pontos de inflexão exigem
ou mudança de sinal com continuidade. Aqui
nunca zera no domínio e as únicas mudanças de sinal ocorrem em
, onde
não está definida. Logo não há pontos de inflexão.
Resposta
h é côncava para cima em (-∞, -2) ∪ (2, ∞), côncava para baixo em (-2, 2) e não possui pontos de inflexão.