Considere a função h(x)=2 x^2+1x^2-4, definida para todo x neq pm 2.
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de h, assim como seus pontos de máximo e de mínimo ( se os houver), indicando se são absolutos (globais) ou relativos (locais).

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função h(x)= 2x^2+1x^2-4 (com domínio x≠±2) cresce ou decresce e identificar seus pontos de máximo e mínimo, locais e globais. Vamos usar derivadas pra isso.

Passo 2

Aplicar a regra do quociente pra derivar h. Se escrevemos h(x)= N(x)D(x) com N(x)=2x^2+1 e D(x)=x^2-4, então
h'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 = (4x)(x^2-4) - (2x^2+1)(2x)(x^2-4)^2 = -18x(x^2-4)^2

Passo 3

Os pontos críticos vêm de h’(x)=0 ou h’ indefinida. Temos h’(x)=0 ⇔ -18x=0 ⇒ x=0. A derivada não existe em x=±2, mas esses pontos não pertencem ao domínio (são assíntotas).

Passo 4

Como (x2-4)2>0 para todo x≠±2, o sinal de h’ é o sinal de -18x. Logo h’>0 se x<0 e h’<0 se x>0. Assim h cresce nos intervalos (-∞,-2) ∪ (-2,0) e decresce em (0,2) ∪ (2,∞).

Passo 5

No ponto x=0 a derivada passa de positiva pra negativa, indicando um máximo local. O valor é h(0)= 1-4= -1/4. Não há ponto onde h mude de decrescente pra crescente, então não há mínimo local. E como h tende a ±∞ próximo a x=±2 e a 2 nas caudas, não existem máximos ou mínimos absolutos no domínio.

Resposta

h cresce em (-∞,-2) ∪ (-2,0) e decresce em (0,2) ∪ (2,∞). Há um único máximo local em x=0, com valor h(0)=-1/4. Não há mínimos locais nem extremos absolutos.

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