Considere a função
, definida para todo
.
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de
, assim como seus pontos de máximo e de mínimo ( se os houver), indicando se são absolutos (globais) ou relativos (locais).
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a função h(x)=
(com domínio x≠±2) cresce ou decresce e identificar seus pontos de máximo e mínimo, locais e globais. Vamos usar derivadas pra isso.
Passo 2
Aplicar a regra do quociente pra derivar h. Se escrevemos h(x)=
com N(x)=2x^2+1 e D(x)=x^2-4, então
Passo 3
Os pontos críticos vêm de h’(x)=0 ou h’ indefinida. Temos h’(x)=0 ⇔ -18x=0 ⇒ x=0. A derivada não existe em x=±2, mas esses pontos não pertencem ao domínio (são assíntotas).
Passo 4
Como (x2-4)2>0 para todo x≠±2, o sinal de h’ é o sinal de -18x. Logo h’>0 se x<0 e h’<0 se x>0. Assim h cresce nos intervalos (-∞,-2) ∪ (-2,0) e decresce em (0,2) ∪ (2,∞).
Passo 5
No ponto x=0 a derivada passa de positiva pra negativa, indicando um máximo local. O valor é h(0)=
= -1/4. Não há ponto onde h mude de decrescente pra crescente, então não há mínimo local. E como h tende a ±∞ próximo a x=±2 e a 2 nas caudas, não existem máximos ou mínimos absolutos no domínio.
Resposta
h cresce em (-∞,-2) ∪ (-2,0) e decresce em (0,2) ∪ (2,∞). Há um único máximo local em x=0, com valor h(0)=-1/4. Não há mínimos locais nem extremos absolutos.