Calcule o comprimento da curva dada pelo gráfico da função no intervalo em questão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida pela função $ f(x) = 2x^{3/2} $ no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Vamos usar o conceito de comprimento de arco, que é a distância total ao longo da curva entre dois pontos. Para isso, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco para funções, que envolve cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, porque a fórmula do comprimento de arco usa a derivada para determinar a inclinação da curva em cada ponto. Vamos calcular $ f’(x) $:
A derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e deriváveis no intervalo
:
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 2 $. Já temos $ f’(x) = 3x^{1/2} $, então substituímos na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver a integral $ \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 9x} , dx $. Para isso, fazemos uma substituição:
Deixe $ u = 1 + 9x $, então $ du = 9 , dx $ ou $ dx = \frac{du}{9} $.
Quando $ x = 0 $, $ u = 1 + 9(0) = 1 $.
Quando $ x = 2 $, $ u = 1 + 9(2) = 19 $.
Substituindo na integral:
Integrando $ u^{1/2} $:
Agora, avaliamos de 1 a 19:
Resposta
O comprimento da curva $ f(x) = 2x^{3/2} $ no intervalo de 0 a 2 é aproximadamente $ \frac{2}{27} \left( 19\sqrt{19} - 1 \right) $, o que dá cerca de 9,60 unidades.