Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico da função no intervalo em questão:
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o volume do sólido que resulta ao girar o gráfico da função $ f(x) = \sqrt{x} $ no intervalo de $ x $ de 0 a 4 em torno do eixo $ x $. Vamos usar a matéria de Cálculo Integral, especificamente a técnica de sólidos de revolução usando o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual método usar. Como estamos girando a função em torno do eixo $ x $, o método dos discos é ideal. Esse método envolve cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada uma dessas fatias como se fossem discos.
Passo 3
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, $ [f(x)]^2 $ representa a área da base de cada disco, $ \pi $ é a constante matemática Pi, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 4.
Passo 4
Vamos substituir a função $ f(x) $ na fórmula. Nossa função é $ f(x) = \sqrt{x} $, então:
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos da constante de integração $ C $.
Passo 6
Aplicando os limites de 0 a 4:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 8\pi $ unidades cúbicas.