Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico da função no intervalo em questão:
f(x)=raizx em [0,4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o volume do sólido que resulta ao girar o gráfico da função $ f(x) = \sqrt{x} $ no intervalo de $ x $ de 0 a 4 em torno do eixo $ x $. Vamos usar a matéria de Cálculo Integral, especificamente a técnica de sólidos de revolução usando o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual método usar. Como estamos girando a função em torno do eixo $ x $, o método dos discos é ideal. Esse método envolve cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada uma dessas fatias como se fossem discos.

Passo 3

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, $ [f(x)]^2 $ representa a área da base de cada disco, $ \pi $ é a constante matemática Pi, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 4.

Passo 4

Vamos substituir a função $ f(x) $ na fórmula. Nossa função é $ f(x) = \sqrt{x} $, então:
f(x)
Então, a fórmula fica:
f(x) = raizx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é:
x
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos da constante de integração $ C $.

Passo 6

Aplicando os limites de 0 a 4:
V = pi [ 12x^2 ]0^4 = pi ( 12(4)^2 - 12(0)^2 ) = pi ( 12(16) - 0 ) = pi (8) = 8pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 8\pi $ unidades cúbicas.

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