sen t=sumn=0^infty (-1)^n t^2 n+1(2 n+1)!
e, supondo que a transformada de Laplace desta série pode ser calculada termo a termo, verifique que
Lsen t=1s^2+1, s>1

Passo 1

O enunciado pede para usar a série de Taylor de sin t e calcular sua transformada de Laplace termo a termo, mostrando que Lsin t=1/(s^2+1) para s>1. Vamos precisar lembrar a definição de transformada de Laplace e a fórmula para Lt^k.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt, sinC, Re(s)>a,
e ela é linear, ou seja, podemos aplicar termo a termo numa série.

Passo 3

Precisamos também da fórmula clássica
Lt^alpha(s)=Gamma(alpha+1)s^alpha+1
para Re(s)>0. No caso inteiro alpha=2n+1 temos Gamma(2n+2)=(2n+1)!, então
Lt^2n+1(s)=(2n+1)!s^2n+2

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo na série
sin t=sumn=0^infty(-1)^n t^2n+1(2n+1)!,
temos
Lsin t(s)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,Lt^2n+1(s) =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!cdot(2n+1)!s^2n+2 =sumn=0^infty(-1)^ns^2n+2

Passo 5

Reconhecemos uma série geométrica de primeira termo 1/s^2 e razão -1/s^2. Como converge para |(-1/s^2)|<1, isto é |s|>1, temos
sumn=0^infty(-1)^ns^2n+2=1/s^21+1/s^2=1s^2+1

Resposta

Lsin t(s)=dfrac1s^2+1, s>1

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