f(t)= sen tt, & t neq 0 1, & t=0
Mostre que f(t) é contínua para todos os valores reais de t. Encontre a série de Taylor de f em torno de t= 0 . Supondo que a transformada de Laplace desta função pode ser calculada termo a termo, verifique que
Lf(t)=arctan (1s), s>1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(t)=sin tt,&tneq01,&t=0
é contínua em todo R, encontrar sua série de Taylor em torno de t=0 e, usando cálculo termo a termo da transformada de Laplace, verificar que
Lf(t)=arctanl(1sr), s>1

Passo 2

Para provar a continuidade em t=0, usamos o limite clássico:
limtto0sin tt=1
Como a definição de f(0)=1 coincide com esse limite, f é contínua em t=0. Fora de zero, sin t/t é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, logo continua para tneq0.

Passo 3

Começando pela série de Taylor de sin t em torno de zero:
sin t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!
Dividindo termo a termo por t, obtemos a expansão de f(t)=sin t/t:
f(t)=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n+1)!

Passo 4

Para a transformada de Laplace termo a termo, lembramos que
Lt^m=m!s^m+1, s>0
Aplicando a cada termo com m=2n:
Ll(-1)^nt^2n(2n+1)!r=(-1)^n(2n)!(2n+1)!1s^2n+1 =(-1)^n12n+11s^2n+1
Somando para n=0,1,2,dots
Lf(t)=sumn=0^infty(-1)^n12n+1l(1sr)^2n+1

Passo 5

Reconhecemos essa série como a expansão de
arctan x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1,\ncom x=1/s. Assim,
Lf(t)=arctanl(1sr),
válido para |1/s|<=1 e, em particular, para s>1.

Resposta

f(t) é contínua em todo R. A série de Taylor em torno de zero é
f(t)=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n+1)!,
e, por cálculo termo a termo da transformada de Laplace, obtém-se
Lf(t)=arctanl(1sr), s>1

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