Mostre que
é contínua para todos os valores reais de
. Encontre a série de Taylor de
em torno de
0 . Supondo que a transformada de Laplace desta função pode ser calculada termo a termo, verifique que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em todo
Passo 2
Para provar a continuidade em
, usamos o limite clássico:
Como a definição de
Passo 3
Começando pela série de Taylor de
em torno de zero:
Dividindo termo a termo por
Passo 4
Para a transformada de Laplace termo a termo, lembramos que
Aplicando a cada termo com
Somando para
dá
Passo 5
Reconhecemos essa série como a expansão de
válido para
Resposta
f(t) é contínua em todo
. A série de Taylor em torno de zero é
e, por cálculo termo a termo da transformada de Laplace, obtém-se