Calcule o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por
no intervalo de
de
a
. Para fazer isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva no espaço tridimensional. Basicamente, vamos derivar cada componente da curva em relação a
, calcular a magnitude dessas derivadas e então integrar essa magnitude ao longo do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada componente da função
. Isso significa derivar
,
e
em relação a
.
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos calcular o quadrado de cada uma delas:
Passo 4
Em seguida, somamos os quadrados das derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
(essa é uma identidade trigonométrica básica). Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do comprimento da curva. A fórmula geral para o comprimento
de uma curva parametrizada por
é:
No nosso caso, já simplificamos a expressão dentro da raiz para
, então:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral. Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Resposta
O comprimento da curva é
.