Calcule o comprimento da curva dada.
r(t)=(t, sen(t), 1+cos (t)), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por r(t) = (t, sin(t), 1 + cos(t)) no intervalo de t de 0 a 2pi. Para fazer isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva no espaço tridimensional. Basicamente, vamos derivar cada componente da curva em relação a t, calcular a magnitude dessas derivadas e então integrar essa magnitude ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada componente da função r(t). Isso significa derivar x(t), y(t) e z(t) em relação a t.
  • Componente x(t):
    x(t) = t Rightarrow x'(t) = ddt t = 1
  • Componente y(t):
    y(t) = sin(t) Rightarrow y'(t) = ddt sin(t) = cos(t)
  • Componente z(t):
    z(t) = 1 + cos(t) Rightarrow z'(t) = ddt [1 + cos(t)] = -sin(t)

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos calcular o quadrado de cada uma delas:
(x'(t))^2 &= (1)^2 = 1 (y'(t))^2 &= (cos(t))^2 = cos^2(t) (z'(t))^2 &= (-sin(t))^2 = sin^2(t)

Passo 4

Em seguida, somamos os quadrados das derivadas:
(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 = 1 + cos^2(t) + sin^2(t)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que cos^2(t) + sin^2(t) = 1 (essa é uma identidade trigonométrica básica). Então:
1 + cos^2(t) + sin^2(t) = 1 + 1 = 2

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do comprimento da curva. A fórmula geral para o comprimento L de uma curva parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)) é:
L = integrala^b raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 , dt
No nosso caso, já simplificamos a expressão dentro da raiz para 2, então:
L = integral0^2pi raiz2 , dt

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral. Como raiz2 é uma constante em relação a t, podemos tirá-la da integral:
L = raiz2 integral0^2pi dt = raiz2 cdot [t]0^2pi = raiz2 cdot (2pi - 0) = 2pi raiz2

Resposta

O comprimento da curva é 2,pi,raiz2.

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