Resolva o problema de valor inicial
y^prime=x^3(1-y), y(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial da forma $ y^{\prime} = x^{3}(1 - y) $ com a condição inicial $ y(0) = 3 $. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes para equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a aplicação do método dos fatores integrantes. A equação dada é:
y^prime = x^3(1 - y)
Podemos rearrumar essa equação para o formato padrão de uma equação linear:
y^prime + x^3y = x^3
Aqui, $ P(x) = x^{3} $ e $ Q(x) = x^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função $ \mu(x) $ que, quando multiplicada em ambos os lados da equação, torna a equação facilmente integrável. O fator integrante é dado por:
mu(x)

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial inteira pelo fator integrante:
e^x^44 y^prime + e^x^44 x^3 y = e^x^44 x^3
Isso simplifica para:
ddx( e^x^44 y ) = e^x^44 x^3
A direita da equação é uma derivada direta, o que facilita a integração.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplifica para:
integral ddx( e^x^44 y ) dx = integral e^x^44 x^3 dx
Vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Observamos que:
integral e^x^44 x^3 dx
Podemos usar uma substituição simples: deixe $ u = \frac{x^{4}}{4} $, então $ du = x^{3} dx $. Assim, a integral fica:
u = x^44

Passo 7

Voltando à equação anterior:
e^x^44 y = e^x^44 + C
Agora, isolamos $ y $:
y

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar a constante $ C $:
y(0) = 3

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
y = 1 + 2 e^-x^44

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