Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial da forma $ y^{\prime} = x^{3}(1 - y) $ com a condição inicial $ y(0) = 3 $. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes para equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a aplicação do método dos fatores integrantes. A equação dada é:
Podemos rearrumar essa equação para o formato padrão de uma equação linear:
Aqui, $ P(x) = x^{3} $ e $ Q(x) = x^{3} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função $ \mu(x) $ que, quando multiplicada em ambos os lados da equação, torna a equação facilmente integrável. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos a equação diferencial inteira pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A direita da equação é uma derivada direta, o que facilita a integração.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Observamos que:
Podemos usar uma substituição simples: deixe $ u = \frac{x^{4}}{4} $, então $ du = x^{3} dx $. Assim, a integral fica:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Agora, isolamos $ y $:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar a constante $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é: