A pressão atmosférica p em função da altura h pode ser modelada por uma função exponencial na forma p=b e^-m h. Os valores a seguir correspondem à pressão medida em diferentes alturas. Usando a regressão linear, determine as constantes m e b que fazem o melhor ajuste dos dados. Use a equação para estimar a pressão atmosférica em uma altura de 7000 m .
h(m) 0 5000 10000 15000 20000
p(k P a) 100 47,5 22,6 10,8 5,1

Passo 1

A pressão segue o modelo p = b e^-m h, mas para ajustar usando regressão linear a gente faz a transformação y = ln p e x = h, obtendo y = ln b - m h. Vamos então calcular xi e yi para cada dado e aplicar as fórmulas de mínimos quadrados para achar a inclinação a e o coeficiente linear c. Aqui a = -m e c = ln b.

Passo 2

Transformamos os dados originais em (xi,hi) e (yi,ln pi):
Usando
ln(100)=46052, ln(47,5)=38607, ln(22,6)=31203, ln(10,8)=23795, ln(5,1)=16292.

Passo 3

Calculamos as somas necessárias para a regressão com n=5:
sum xi = 50000, sum yi = 155949, sum xi yi = 118783, sum xi^2 = 750times10^6

Passo 4

Aplicando as fórmulas de mínimos quadrados:
a = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2 = 5cdot118783 - 50000cdot15.59495cdot750times10^6 - (50000)^2 approx -1.4866times10^-4,
c = sum yi - asum xin = 15.5949 - (-1.4866times10^-4)cdot500005 approx 4.6056

Passo 5

Como a = -m e c = ln b, segue
m = -a approx 1.4866times10^-4 m^-1, ln b = c approx 4.6056

Passo 6

Calculamos
b = e^4.6056 approx 100.05 kPa

Passo 7

Para estimar a pressão a 7000 m:
p(7000) = b,e^-mcdot7000 = 100.05,e^-1.4866times10^-4cdot7000 approx 35.4 kPa

Resposta

m approx 1.4866times10^-4 m^-1, b approx 100.05 kPa, p(7000 m) approx 35.4 kPa

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