Pretende-se construir um silo de grãos acoplando uma cobertura semiesférica e um piso horizontal (plano) a um cilindro circular. Use multiplicadores de Lagrange para mostrar que, supondo que a área total da superfície seja
, o volume do silo é maximizado quando o raio e a altura do cilindro são iguais.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir um silo que é composto por um cilindro com uma cobertura semiesférica no topo e um piso horizontal na base. Queremos descobrir as dimensões desse silo (raio e altura do cilindro) que vão maximizar o volume, sabendo que a área total da superfície é fixa e igual a $ S $.
Vamos precisar usar o cálculo de otimização, mais especificamente os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a maximizar (ou minimizar) uma função sujeita a alguma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- $ r $ é o raio do cilindro e da semiesfera.
- $ h $ é a altura do cilindro.
Nosso objetivo é maximizar o volume $ V $ do silo. O volume do cilindro é $ V_{cil} = \pi r^2 h $ e o volume da semiesfera é $ V_{sem} = \frac{2}{3}\pi r^3 $. Então, o volume total é:
Passo 3
Agora, precisamos considerar a restrição da área total $ S $. A área da superfície do cilindro sem a cobertura é composta da lateral do cilindro, da base e da semiesfera. A área lateral do cilindro é $ A_{lat} = 2\pi r h $, a área da base é $ A_{base} = \pi r^2 $ e a área da semiesfera é $ A_{sem} = 2\pi r^2 $. Então, a área total é:
Passo 4
Para usar os multiplicadores de Lagrange, definimos a função objetivo e a restrição. Nossa função objetivo é o volume $ V $ que queremos maximizar, e a restrição é a área total $ S $.
Então, montamos a função de Lagrange:
onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Agora, derivamos a função de Lagrange em relação a $ r $, $ h $ e $ \lambda $, e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos.
Derivando em relação a $ r $:
Derivando em relação a $ h $:
Derivando em relação a $ \lambda $:
Passo 6
Vamos resolver essas equações. A partir da segunda equação:
Substituindo $ \lambda = \frac{r}{2} $ na primeira equação:
Simplificando:
Passo 7
Encontramos que $ h = r $. Isso mostra que a altura do cilindro é igual ao raio. Portanto, o volume do silo é maximizado quando o raio e a altura do cilindro são iguais.
Resposta
O volume do silo é maximizado quando o raio $ r $ e a altura $ h $ do cilindro são iguais, ou seja, $ r = h $.