Calcule o comprimento da curva
gamma(t)=lang<=t^22, t^3, raiz2 t^2rang<= ; 0 <= t <= 1
Resp.: 2 raiz2-1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica
gamma(t)=llang<=tfract^22,,t^3,,raiz2,t^2rrang<= para 0<= t<=1
e pede o comprimento do arco dessa curva.
Conteúdo: comprimento de curva em R^3, usando a fórmula
L=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t) =llang<= ddtl(tfract^22r),;ddt(t^3),;ddt(raiz2,t^2)rrang<= =llang<= t,;3t^2,;2raiz2,trrang<=

Passo 3

Agora encontramos a norma de gamma'(t):
l|gamma'(t)r| =raiz,t^2+(3t^2)^2+(2raiz2,t)^2, =raiz,t^2+9t^4+8t^2, =raiz,9t^4+9t^2, =3traiz,t^2+1,,
já que t>=0 no intervalo dado.

Passo 4

O comprimento é
L=integral0^13traizt^2+1,dt
Fazemos a substituição u=t^2+1, de modo que du=2t,dt. Então
t,dt=du2, u(0)=1, u(1)=2,
e
L =3integral0^1traizt^2+1,dt =32integralu=1^u=2u^1/2,du

Passo 5

Integramos u^1/2:
integral u^1/2,du=23u^3/2,
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L =32cdot23l[u^3/2r]1^2 =l(2^3/2-1^3/2r) =2raiz2-1

Resposta

2raiz2-1

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