Encontre os valores de x onde a função h(x)=x^4-4 x^3+10 possui extremos locais e classifique-os.

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais da função h(x)=x^4-4x^3+10. Para isso vamos usar o método padrão de cálculo de extremos:
  1. calcular a derivada primeira h'(x) e encontrar os pontos críticos onde h'(x)=0,
  2. classificar cada ponto crítico pelo teste de sinal de h'.

Passo 2

Calcular a derivada de h:
h'(x)=ddxl(x^4-4x^3+10r)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)
Para encontrar os pontos críticos resolvemos
4x^2(x-3)=0
que dá
x=0(mu<iplicidade 2) e x=3

Passo 3

Analisar o sinal de h'(x):
O fator 4x^2 é sempre não negativo e só zera em x=0. O fator (x-3) é negativo para x<3 e positivo para x>3.
  • Se x<3, então (x-3)<0 e 4x^2>0 (quando xneq0), logo h'(x)<0. Isso vale tanto para valores imediatamente à esquerda de 0 quanto imediatamente à direita de 0.
  • Se x>3, então (x-3)>0 e 4x^2>0, logo h'(x)>0.
Portanto em x=0 não há troca de sinal de h' (permanece negativo), caracterizando um ponto de inflexão com tangente horizontal. Em x=3 o sinal de h' muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.

Passo 4

Para dar o valor exato desse mínimo, calculamos
h(3)=3^4-4cdot3^3+10=81-108+10=-17

Resposta

A função não possui extremo em x=0 (é um ponto de inflexão com reta tangente horizontal) e tem um único extremo local, que é mínimo em x=3 com valor h(3)=-17. Não há máximo local.

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