Encontre os valores de
onde a função
possui extremos locais e classifique-os.
Passo 1
O enunciado pede os extremos locais da função
. Para isso vamos usar o método padrão de cálculo de extremos:
- calcular a derivada primeira
e encontrar os pontos críticos onde , - classificar cada ponto crítico pelo teste de sinal de
.
Passo 2
Calcular a derivada de
:
Para encontrar os pontos críticos resolvemos
que dá
Passo 3
Analisar o sinal de
:
O fator é sempre não negativo e só zera em
. O fator
é negativo para
e positivo para
.
O fator
- Se
, então e (quando ), logo . Isso vale tanto para valores imediatamente à esquerda de quanto imediatamente à direita de . - Se
, então e , logo .
Portanto em
não há troca de sinal de
(permanece negativo), caracterizando um ponto de inflexão com tangente horizontal. Em
o sinal de
muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.
Passo 4
Para dar o valor exato desse mínimo, calculamos
Resposta
A função não possui extremo em
(é um ponto de inflexão com reta tangente horizontal) e tem um único extremo local, que é mínimo em
com valor
. Não há máximo local.