Verifique se o Teorema do Valor Médio se aplica à função f(x)=x^3-x no intervalo [-1,1] e determine o ponto c fornecido pelo teorema.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o Teorema do Valor Médio (MVT) se aplica à função
f(x)=x^3-x
no intervalo [-1,1] e, em caso afirmativo, determinar o ponto c garantido pelo teorema. Para isso precisamos checar duas hipóteses: continuidade em [-1,1] e diferenciabilidade em (-1,1), depois calcular a taxa média de variação e encontrar c tal que
f'(c)=f(1)-f(-1)1-(-1)

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R e também diferenciável em todo R. Logo, f satisfaz as hipóteses do MVT em [-1,1].

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f no intervalo:
f(1)-f(-1)1-(-1) =l(1^3-1r)-l((-1)^3-(-1)r)2 =(0)-(0)2 =0

Passo 4

Agora encontramos a derivada de f e igualamos a zero:
f'(x)=3x^2-1
Logo, o ponto c deve satisfazer
3c^2-1=0 Longrightarrow c^2=13 Longrightarrow c=pm1raiz3

Passo 5

Ambos os valores c=-tfrac1raiz3 e c=+tfrac1raiz3 estão no intervalo (-1,1), mostrando que o MVT se aplica e fornece esses pontos.

Resposta

O Teorema do Valor Médio se aplica a f em [-1,1], e os pontos fornecidos são
c=-1raiz3 e c=+1raiz3

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