Verifique se o Teorema do Valor Médio se aplica à função
no intervalo
e determine o ponto
fornecido pelo teorema.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o Teorema do Valor Médio (MVT) se aplica à função
no intervalo
e, em caso afirmativo, determinar o ponto
garantido pelo teorema. Para isso precisamos checar duas hipóteses: continuidade em
e diferenciabilidade em
, depois calcular a taxa média de variação e encontrar
tal que
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
e também diferenciável em todo
. Logo,
satisfaz as hipóteses do MVT em
.
Passo 3
Calculamos a taxa média de variação de
no intervalo:
Passo 4
Agora encontramos a derivada de
e igualamos a zero:
Logo, o ponto
deve satisfazer
Passo 5
Ambos os valores
e
estão no intervalo
, mostrando que o MVT se aplica e fornece esses pontos.
Resposta
O Teorema do Valor Médio se aplica a
em
, e os pontos fornecidos são