Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(t sen(t), t cos (t), t) para t in[0, raiz2].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva gamma(t)=(tsin(t),,tcos(t),,t) para tin[0,raiz2]. O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva no espaço, que é
L=integrala^b|gamma'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t)=l(sin(t)+tcos(t),;cos(t)-tsin(t),;1r)

Passo 3

Agora achamos o quadrado da norma de gamma'(t):
|gamma'(t)|^2=(sin(t)+tcos(t))^2+(cos(t)-tsin(t))^2+1^2
Expandindo e somando os termos mistos, nota-se que
(sin(t)+tcos(t))^2+(cos(t)-tsin(t))^2 =sin^2(t)+cos^2(t)+t^2(cos^2(t)+sin^2(t)) =1+t^2
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|gamma'(t)|^2=1+t^2+1=2+t^2,
ou seja
|gamma'(t)|=raizt^2+2

Passo 4

O comprimento fica
L=integral0^raiz2raizt^2+2,dt
Para integrar, usamos a primitiva conhecida
integralraizt^2+a^2,dt =t2raizt^2+a^2+a^22lnl(t+raizt^2+a^2r),
com a^2=2.

Passo 5

Aplicando a primitiva em 0 e raiz2:
em t=raiz2, raizt^2+2=2, dá
raiz22cdot2+22lnl(raiz2+2r) =raiz2+lnl(2+raiz2r)
em t=0, raizt^2+2=raiz2, dá
0+lnl(raiz2r) =tfrac12ln(2)
Subtraindo e simplificando
L=raiz2+lnl(2+raiz2r)-tfrac12ln(2) =raiz2+lnl(raiz2+1r)

Resposta

L=raiz2+lnl(raiz2+1r)

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