Calcule o comprimento da curva
para
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva
para
. O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva no espaço, que é
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada componente a componente:
Passo 3
Agora achamos o quadrado da norma de
gamma'(t) :
Expandindo e somando os termos mistos, nota-se que
Logo
ou seja
Passo 4
O comprimento fica
Para integrar, usamos a primitiva conhecida
com
a^2=2 .
Passo 5
Aplicando a primitiva em
0 e
raiz2 :
emt=raiz2 ,
raizt^2+2=2 , dá
em
em
t=0 ,
raizt^2+2=raiz2 , dá
Subtraindo e simplificando